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焦點速讀:凱利公式啟示:贏得勝利的唯一法則是“不賭”

2022-12-11 12:19:27 來源:雪球網(wǎng)

賭徒迷信的是運氣,賭場相信的是數(shù)學(xué)


(資料圖片)

賭王何鴻燊接手葡京賭場時,業(yè)務(wù)蒸蒸日上,但理性的賭王仍然忐忑,請教“賭神”葉漢:“如果這些賭客總是輸,長此以往,他們不來了怎么辦?”葉漢笑道:“一次賭徒,一世賭徒,他們擔(dān)心的是賭場不在怎么辦。”

葉漢說的只是心理層面,現(xiàn)代賭場程序方面的設(shè)計,比葉漢當年要縝密得多,賭場集中了概率、級數(shù)、極限方面的數(shù)學(xué)經(jīng)驗。一個普通賭徒,只要長久賭下去,最終一定會血本無歸,所謂的各種致勝絕技,除了電影里的周星星,現(xiàn)實里的周星馳都不信。

賭徒永遠不明白,與自己對賭的不是運氣,也不是莊家,他們是在與狄利克雷、伯努利、高斯、納什、凱利這樣的大師對決數(shù)學(xué),贏的勝率能有多大?

看得到的是概率、看不見的是陷阱

我們先說一個最簡單的賭博游戲:賭運氣猜硬幣。

規(guī)則是這樣的,擲硬幣,正面贏反面輸,贏了可以拿走一倍的錢,輸了會賠掉本金,你玩不玩?你可能覺得,唉,這游戲不錯,公平!恰好運氣也不錯,第一把贏了100元!你高興壞了,這時候莊家跟你說,你看你也贏了這么多,我呢,辛辛苦苦搭個場子,最后什么都沒撈著,要不這樣,你贏了,就給我留下2%,就算是救濟救濟老哥,給捧捧場!你一聽,2%,才這么點,拿去吧,不差錢!好了,這事就這么定下來了。

然而你做夢都想不到的是:就是這小小的2%,最后卻讓你輸?shù)脙A家蕩產(chǎn)、家破人亡。

這小小的2個點的贏的概率貌似不起眼,但配上“大數(shù)法則”,就成為了賭場賺錢的利器!“大數(shù)法則”是數(shù)學(xué)家伯努利提出來的,說的是假設(shè)n(a)是n次獨立重復(fù)實驗中發(fā)生a的次數(shù),p是每次實驗發(fā)生a的概率,當n足夠大的時候,對任意正數(shù)ε,有l(wèi)im{[|(n(a)/n)| p]<ε}=1,公式這么復(fù)雜,99%的賭徒都看不懂,看不懂沒關(guān)系,我們只看結(jié)果,最終莊家贏到的錢=0.02*a。

莊家賺的錢最終只跟玩家下注大小有關(guān)!這也就是我們常說的“流水”,只要玩家不停地玩,莊家就會不停地賺!而不管玩家是輸是贏,莊家始終是贏的!為什么賭場有“最小投注額”,因為擴大“流水”才能將利潤最大化!

所以別以為自己有多聰明,你要慶幸自己玩得不夠久而已,十賭九輸正源于此。

只要進了賭場你就是一個窮鬼

我們再進一步,就算雙方的概率均等,你仍然是一個輸家,這里涉及到“無限財富”和“賭徒輸光定律”,這個定理在現(xiàn)實生活中有許多應(yīng)用,如“姓氏消亡”“線粒體夏娃假說”,在概率均等的情況下,誰的資本大,誰的贏率高。

你和我對賭,你我各有5塊錢,輸光為止。那么你贏的概率是50%,輸?shù)母怕室彩?0%。

你和我對賭,你有5塊錢,我有10塊錢,輸光為止,那么你贏的概率就只有33.3%,而輸?shù)母怕视?6.7%(這里涉及到高斯的概率論和泰勒的級數(shù)論),后面隱藏的就是賭場大BOSS凱利公式,后面小節(jié)里將詳加表述。

對于小散戶,賭場一般可以認為財富是無限多的,你贏不垮它,它卻能吃了你。在賭場老板的眼里,世界只有兩種人:一種現(xiàn)在是窮鬼,一種未來是窮鬼。

“無限財富定律”也解釋了賭場設(shè)置最大投注額原因。不是老板好心保護賭徒免遭破產(chǎn),只是老板為了保護自己設(shè)置的安全屏障,想象下萬一哪天比爾蓋茨去賭場找樂子,一次性砸個幾百億進去,那賭場老板真的要哭了,雖然這種事情不太可能發(fā)生,但也不能不防,所以賭場根據(jù)自己的財富能力設(shè)計最高投注額,也就是為了抵抗“無限財富定理”!

賭場大BOSS凱利公式:先告訴你怎么下注

其實公式的作者,凱利,并不是一個資深賭徒,而是一位著名的物理學(xué)家,他發(fā)明這個公式的時候正是著名貝爾實驗室 中的一名研究科學(xué)家,研究方向是當時還算新興前沿的電視信號傳輸協(xié)議。

講公式前再賣個關(guān)子,先來看一場賭局:

假設(shè)您有100美金進行一項拋硬幣游戲——如果硬幣為正面,您1美元就贏2美元;如果硬幣為反面,您就輸1美元。您每次該投入本金的百分之多少來獲得收益的最大化呢?

我本人的第一感覺是——不會吧,這也會有答案,其實就這樣一個看似無解的問題,凱利公式告訴您:25%。

那么,凱利公式(Kelly formula)究竟是什么?

f*=(bp-q)/b

b = 賠率(賠率=期望盈利÷可能虧損=2美元盈利÷1美元虧損,賠率就是2了)

p = 成功概率(拋硬幣正反面都是50%的概率)

q = 失敗概率 (也就是 1-p,賭局中也是50%了 )

以上面游戲為例計算過程就是(bp-q)÷ b =(2 * 50%-50%)÷ 2= 25%。

從公式我們可以獲得我們投資的一點啟發(fā):

只有出現(xiàn)贏面(bp - q)為正的時候,游戲才可以下注,這是一切賭戲和投資最基本的道理,也就是前面講的"沒有把握,決不下注"。

贏面還要除以"b"才是投注資金比例。也就是說贏面相同的情況下,賠率越小越可以多押注。如果不理解這句話,我們看看例子:

用凱利公式我們知道"小博大"游戲只能押總資金的4%,但是按大部分人的賭性,恐怕會選"小博大"游戲,而且重倉甚至show hand吧?但是,理性的選擇應(yīng)該是"大博小",因為他快多了,因為可以用40%的倉位!所以,說到這,我們投資股票的時候如果想增大短期倉位可能最優(yōu)的選擇就是考慮一下重倉波動性小但是上漲概率大的大盤股,而對于波動劇烈的小盤股,我們必須保留低倉位運作。

他可靠么?我想這個世界上已經(jīng)有一大群數(shù)學(xué)家的論據(jù)來支持這個最優(yōu)答案,我們這就簡單以廣發(fā)證券的一張圖來消除大家的疑慮吧(題目略,圖中一共五組選項,紅色曲線的10%自然就是凱利公式算出來的答案)

金融圈中最著名的一個數(shù)學(xué)公式

其實,投資就像一場賭博,我們知道獲勝的公式=獲勝概率*操作次數(shù)*參與倉位。而要說金融圈最著名的人,巴菲特一定在其中;要說金融圈最著名的一個公式,凱利公式(Kelly formula)一定在其中,而且,巴菲特也用過它來管理資金哦。那我們也嘗試把凱利公式應(yīng)用到我們的策略吧:

假如我們能找到一種盈利模式,這里就舉例我們最熟悉的追漲停板策略吧,在一只個股即將漲停的時候買入,假設(shè)你是超級高手,你每次打板都能盈利,那么你的成功概率就是100%;假設(shè)你是剛?cè)胧械男率郑?0次打板9次虧,那么你的成功概率就是10%。我們按照10%~100%的不同成功概率進行分檔,每隔10%劃分為一檔。

我們來看看市場好的時候:

凱莉公式的計算結(jié)果顯示,市場好的時候,如果真的追漲停有4個漲停板的盈利,那么,只要你有30%的把握就可以出手了。

我們再來看看市場差的時候:

這里凱利公式告訴我們,市場差的時候,除非你能有80%的獲勝信心,不然還是不要隨意輕易出手。

如果您覺得上面的公式有點復(fù)雜,那要不考慮一下巴菲特版的凱利公式吧(網(wǎng)傳節(jié)選自《巴菲特的投資組合》):

X=2p-1

p=成功的概率

X=投入的資金百分比

簡單吧,還是以上面的例子做案例,如果市場差的,有一個80%概率打板盈利的投資機會,那么就買入2 * 80% - 1 = 60%的股票倉位,如果有一個100%盈利的投資機會,那么就全倉吧,所以,巴菲特版的公式思維更簡單,只是似乎比原版進取些,因為忽略了賠率的影響。

如果您要加入止損位,那么可以把公式優(yōu)化成:

f*=(b*(1+p)-1)÷(b*止損幅度)

除了100%贏,任何時候都不應(yīng)下注

所有的賭場游戲,幾乎都是對賭徒不公平的游戲。

但這種不公平并非是莊家出老千,現(xiàn)代賭場光明正大地依靠數(shù)學(xué)規(guī)則賺取利潤,從某種意義上來講,賭場是最透明公開的場所,如果不是這樣,進出賭場不知有多少狂命之徒,何鴻燊早怕九條命都不夠。

凱利公式不是憑空設(shè)想出來的,這個數(shù)學(xué)模型已經(jīng)在華爾街得到驗證,除了在賭場被奉為正神,也被稱為“資金管理神器”,是比爾格羅斯等投資大佬的心頭之愛,巴菲特依靠這個公式也賺了不少銀子。

1955年6月,美國出現(xiàn)了一個極其有名的電視節(jié)目,叫做64000 dollar question。答題者通過不斷答對題來累積獎金,一時風(fēng)靡全美,黃金時段收視率達到85%,各路山寨節(jié)目不斷。這樣一個問答秀迅速吸引了場外下注來賭贏家的賭盤。這檔節(jié)目的錄制是在紐約,東海岸現(xiàn)場直播,而西海岸則有延時。當時的新聞爆出一些丑聞,有關(guān)西海岸的賭徒通過電話提前得知結(jié)果,趕在了西海岸直播前下注。

凱利看了新聞之后,他想到這個如何使具備一定內(nèi)幕消息但是同時有一部分雜音的賭徒最大化長期獲益的問題,可以使用他們實驗室關(guān)于咨詢學(xué)和噪音傳遞研究的公式來解決。于是,他以一個賽馬的模型,推出了凱利公式的雛形。

凱利的理論是這樣的,對于有一定內(nèi)幕消息的賽馬人來說,第一個自然的想法當然是放入全部的資金,但是這樣就會造成萬一輸?shù)粞緹o歸的慘境。而在凱利想要解決的這個問題中,在任何一個時刻輸?shù)羧抠Y金顯然是不符合最大化累積收益的需求的。

真正應(yīng)該關(guān)心的是長期累積的收入,對于累積的收益來說,最后的結(jié)果只和輸贏的局數(shù)有關(guān),而和輸贏的順序無關(guān)。所以他推出了一個最佳的投入倉位比,來最大化長期的累積收益:

bet = edge / odds = 預(yù)期獲益/獲益回報

edge=bp-q

這里的edge 在賭博中可以理解為 獲勝的概率*賠率 - 失敗的概率,也就是上文提到的贏面。當edge的數(shù)字為正的時候,這就是值得下注的比賽,而edge為0或者負數(shù)的情況說明賭徒不具備edge, 不應(yīng)該下注。

而odds則是賠率,我們更可以把它理解為一種公眾對概率的估計,是公開的消息。

我們可以用凱利模擬這樣一種情況:小明現(xiàn)在有100元的起始資金,他現(xiàn)在將要投硬幣4次,每一次他投出硬幣為正面的時候,將獲得6倍資金回報(1陪5),當他投出硬幣為反面,陪光。請問小明要如何分配每次下注資金,才能最大化他4次投幣之后的收益呢?

根據(jù)凱利公式計算,我們可以建立起這樣一個正反面的概率各為50%,edge = 0.5*5-0.5 = 2, odds為5,最佳倉位為40%,可以看到最終在16個可能出現(xiàn)的結(jié)果中(4次投擲),12.96和8100出現(xiàn)1次,64.8和1620出現(xiàn)4次,324出現(xiàn)6次,16次結(jié)果的收益為324。凱利公式的目的正是最大化這些結(jié)果的收益。

由于凱利公式著眼于長期回報率和風(fēng)險的控制,所以天然就吸引投資人想要把它應(yīng)用在投資當中。比如著名的傳奇數(shù)學(xué)家Edward Thorp讀了凱利的論文之后,先是自學(xué)Fortran用IBM大型機開發(fā)了一套專門用于21點的算法(感興趣的同學(xué)可以去看下電影21,電影里的card counting的方法正是獲得edge的來源),帶上凱利的導(dǎo)師在拉斯維加斯大把吸金。

結(jié)語:贏得勝利的唯一法則:不賭

沒有誰能說服一個墮落的賭徒,因為這是人格的缺陷。

但如果你還是一個具有理性精神的人,別再迷戀所謂的運氣。

賭徒能夠依靠的是祖宗保佑,而賭場后面的大佬是高斯、凱利、伯努利這樣的大神。

你怎么可能贏得了莊家?

論理性,沒有人能比賭場老板更理性。

論數(shù)學(xué),沒有人能比賭場老板請的專家更精通數(shù)學(xué)。

論賭本,沒有人能比賭場老板的本錢更多。

如果你想真正贏得這場賭局,法則只有一個:不賭。

$招商銀行(SH600036)$

$貴州茅臺(SH600519)$

$中國平安(SH601318)$

關(guān)鍵詞: 賭場老板 成功概率 投資機會

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